Fahrscheinkontrolle

Ein Fahrschein hat eine sechsstellige Fahrscheinnummer. Sind die Ziffernsummen aus den ersten drei Ziffern und den letzten drei Ziffern gleich, dann hat man eine Freifahrt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Freifahrt?

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich nach Laplace: Alle günstigen Möglichkeiten geteilt durch alle Möglichkeiten. Da es sich um sechsstellige Zahlen handelt, hat man insgesamt 1.000.000 Möglichkeiten (000.000 … 999.999).

Die Summe der ersten drei Ziffern legt fest, ob man gewonnen hat, weil dann die Summe der nächsten drei Ziffern gleich sein muss. Die ersten drei Ziffern können Summen von 0 bis 27 haben. Sei P(i), i = 0... 27, die Anzahl aller dreistelligen Ziffernfolgen, die die Summe i haben. Dann berechnet sich die Anzahl der günstigen Möglichkeiten aus der Summe aller Quadratzahlen dieser P(i), i = 0 … 27.

Wenn man Summen dreier Ziffern a+b+c ausrechnet, dann kann man auf zwei verschiedene Weisen die Summen zusammenfassen: (a+b)+c oder a+(b+c). Die Summen in den Klammern sind Summen aus zwei Ziffern. Wir müssen uns also überlegen, wie viele Summen man mit zwei Ziffern bilden kann, die alle dasselbe Ergebnis haben. Als Ergebnisse für solche Summen kommen hier die Zahlen von 0 … 18 in Frage. Die Tabelle zeigt, wie das Verfahren zur Abzählung geht:

Schauen wir auf die Felder, bei denen immer die gleiche Summe steht, so sehen wir, dass man aus zwei Ziffern wie folgt Summen mit demselben Ergebnis (0 … 18) erzeugen kann:

Dasselbe Verfahren können wir nun anwenden, um herauszufinden wie viele Kombinationen es aus drei Ziffern gibt, die dieselbe Summe aufweisen. Die Summe variiert von 0 … 27.

Die oberste Zeile steht für die Summe aus zwei Ziffern, die von 0 … 18 variiert. Darüber, in der grünen Zeile, steht, wie viele Kombinationen es mit zwei Ziffern gibt, die dieselbe Summe liefern. In der linken Spalte steht der letzte Summand aus der Summe dreier Ziffern. Er variiert von 0 … 9. Nun muss man die fehlenden Felder mit den Summen aus drei Ziffer ausfüllen. Es entstehen Zahlen von 0 … 27. Um nun herauszufinden, wie viele Summen z.B. aus drei Ziffern mit Ergebnis 22 möglich sind, schaut man auf die Felder, die alle die Zahl 22 enthalten und addiert die Zahlen in der obersten grünen Zeile. Für die gesuchten Zahlen P(i) erhält man dann folgende Werte:

P[ 0 ] = 1; P[ 1 ] = 3; P[ 2 ] = 6; P[ 3 ] = 10; P[ 4 ] = 15; P[ 5 ] = 21; P[ 6 ] = 28; P[ 7 ] = 36; P[ 8 ] = 45; P[ 9 ] = 55; P[ 10 ] = 63; P[ 11 ] = 69; P[ 12 ] = 73; P[ 13 ] = 75; P[ 14 ] = 75; P[ 15 ] = 73; P[ 16 ] = 69; P[ 17 ] = 63; P[ 18 ] = 55; P[ 19 ] = 45; P[ 20 ] = 36; P[ 21 ] = 28; P[ 22 ] = 21; P[ 23 ] = 15; P[ 24 ] = 10; P[ 25 ] = 6; P[ 26 ] = 3; P[ 27 ] = 1.

Die Summe der Quadratzahlen aus den P[i] liefert: 55252. Das ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 5,5252%.

Das folgende kleine C-Programm berechnet die entsprechenden Ergebnisse:

#include <stdio.h>

int main ()

{

int P[28]; int X[18];

int i,j,k;

int SUM = 0, GES = 0;

for(i=0; i<=27; i++) {P[i] = 0;}

X[0]=1; X[1]=2; X[2]=3; X[3]=4; X[4]=5; X[5]=6; X[6]=7; X[7]=8; X[8]=9; X[9]=10;

X[10]=9; X[11]=8; X[12]=7; X[13]=6; X[14]=5; X[15]=4; X[16]=3; X[17]=2; X[18]=1;

for(i=0; i<=18; i++) {for(j=0; j<=9; j++) {P[i+j] = P[i+j]+X[i];}}

for (i=0; i<=27; i++) printf("%s %d %s %d\n","P[",i,"] = ", P[i]);

for (i=0; i<=27; i++) {

SUM = SUM + P[i]*P[i];

GES = GES + P[i];

}

printf("%s %d\n%s %d\n", "SUM = ", SUM, "Ges.=", GES);

}

© GOO Juli 2012