Friede den Hütten

Eine Divisionsalgebra ist ein Vektorraum mit einer Multiplikation, die Nullteiler frei ist. Man betrachtet normalerweise reelle Vektorräume. Da man die Basiselemente des Vektorraums miteinander multiplizieren kann, wird dadurch die Multiplikation aller Vektoren fortgesetzt.


Allgemein kann man für jede endliche Gruppe G den dazugehörigen freien Vektorraum über irgendeinen Körper K betrachten und darin die Gruppenelemente als Basisvektoren definieren. Dann hat man über die Gruppenmultiplikation ebenfalls eine Multiplikation auf dem freien Vektorraum definiert. Dies liefert eine Algebra, die eine sehr exotische Multiplikation haben kann, wie z.B. die Permutationsgruppe Sn zeigt.

Eine Divisionsalgebra muss nicht kommutativ sein, wie das Beispiel der Quaternionen zeigt. Die Basiselemente der Quaternionen bezeichnet man mit i, j, k, die gemäß den Hamilton-Regeln wie  folgt miteinander in Beziehung stehen: i2 = j2 = k2 = ijk = -1

Es handelt sich hier um einen vierdimensionalen Vektorraum.Darüber hinaus gibt es einen achtdimensionalen Vektorraum – die Caleyzahlen – die ebenfalls eine Divisionsalgebra bilden.

Es stellt sich nun die Frage, ob es auch weitere höher dimensionale reelle Vektorräume geben kann, die eine Divisionsalgebra bilden. Die Antwort darauf ist Nein!

Gelöst wurde dieses Problem durch den Mathematiker Adams mittels K-Theorie. Dabei spielt eine wichtige Abbildung eine Rolle, die von Hopf  entdeckt wurde.

Der Aufsatz behandelt die Hopfabbildung und die wichtigen Implikationen für die Divisionsalgebren.

 

Hopfabbildung

 

 

Hopfabildung

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